Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни бесплатное чтение

Знак информационной продукции (Федеральный закон № 436-ФЗ от 29.12.2010 г.)

Переводчик: Наталья Лисова

Научный редактор: Константин Кноп

Редактор: Вячеслав Ионов

Издатель: Павел Подкосов

Руководитель проекта: Ирина Серёгина

Арт-директор: Юрий Буга

Ассистент редакции: Мария Короченская

Корректоры: Елена Воеводина, Ольга Петрова

Верстка: Андрей Фоминов

Дизайн обложки: Людмила Антипова

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

© Joat Enterprises, 2021

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2024

1

Непостижимая эффективность

Математический язык удивительно хорошо подходит для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не можем осмыслить и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и дальше сможем пользоваться им. В любом случае сфера его применения будет расширяться, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.

ЮДЖИН ВИГНЕР.Непостижимая эффективность математики в естественных науках

Для чего нужна математика?

Что она дает нам в повседневной жизни?

Не так давно у нас были простые ответы на эти вопросы. Базовой арифметикой средний гражданин пользовался практически постоянно, хотя бы для проверки чека при совершении покупок. Элементарная геометрия была нужна плотникам. Геодезистам и штурманам требовалась также тригонометрия. Инженерное дело было немыслимо без дифференциального и интегрального исчисления.

Сегодня все иначе. Сумму чека подсчитывает кассовый терминал в супермаркете, он же учитывает скидки и начисляет налог с продаж. Мы же слушаем звуковые сигналы сканера штрихкодов, и если на каждую покупку приходится один сигнал, то считаем, что все в порядке. Многие профессии по-прежнему требуют обширных математических знаний, но даже там мы уже отдали большую часть математики на откуп электронным устройствам со встроенными алгоритмами.

Предмет, о котором я собираюсь вести речь, неосязаем. Трудно заметить то, что нельзя пощупать и ощутить.

Может показаться, что математика вышла из моды и устарела, но такой взгляд ошибочен. Без математики современный мир попросту развалился бы. В доказательство своего утверждения я покажу вам ее применение в политике и юриспруденции, в трансплантологии почек и в доставке заказов из супермаркета, в интернет-безопасности, в киношных спецэффектах и при изготовлении пружин. Мы увидим, что без математики немыслимы медицинские сканеры, цифровая фотография, широкополосные каналы связи и спутниковая навигация, она помогает нам предсказывать результаты климатических изменений, защищаться от террористов и интернет-хакеров.

Примечательно, что во многих компьютерных приложениях используется математический аппарат, созданный для совершенно иных целей. Готовя материалы для этой книги, я раз за разом натыкался на такие области применения математики, о которых даже не подозревал. Зачастую задействовались разделы, которые, казалось бы, не имеют практического применения, вроде заполняющих пространство кривых, кватернионов и топологии.

Математика – безграничная, исключительно креативная система представлений и методов. Она скрывается под поверхностью тех преобразующих технологий, которые делают XXI век с его видеоиграми, международным авиасообщением, системами спутниковой связи, компьютерами, интернетом и мобильными телефонами совершенно непохожим на предшествующую эпоху{1}. Поскребите какой-нибудь iPhone, и увидите яркий отблеск математики.

Пожалуйста, не воспринимайте это предложение буквально.

Многие склонны считать, что компьютеры с их почти чудесными возможностями делают математиков, да и саму математику, неактуальными. Но компьютеры вытесняют математиков не больше, чем микроскопы вытесняют биологов. Благодаря компьютерам мы теперь иначе занимаемся математикой, но в целом они лишь освобождают нас от монотонной работы. Они дают нам время подумать, помогают выискивать закономерности и добавляют в наш арсенал новый мощный инструмент, позволяющий развивать математику быстрее и эффективнее.

На самом деле главная причина того, что математика становится все более необходимой, как раз и состоит в повсеместном распространении дешевых и мощных компьютеров. Их появление открыло новые возможности для приложения математики к задачам реального мира. Методы, которые прежде не применялись из-за слишком большого объема вычислений, сегодня стали рутиной. Величайшие математики эпохи карандаша и бумаги развели бы руками в отчаянии при виде метода, требующего миллиарда вычислительных операций. Сегодня нас это не смущает, поскольку мы обладаем технологией, позволяющей проводить математические операции за доли секунды.

Математики давно находятся на острие компьютерной революции вместе с представителями бесчисленных других профессий. Вспомните хотя бы Джорджа Буля, который положил начало математической логике, составляющей основу современной компьютерной архитектуры. Вспомните Алана Тьюринга и универсальную машину, названную его именем, – математическую систему, способную вычислять все, что в принципе поддается вычислению. Вспомните Мухаммеда аль-Хорезми, чей алгебраический трактат, написанный примерно в 820 году, подчеркивал роль систематических вычислительных процедур, называемых теперь в его честь алгоритмами.

Большинство алгоритмов, которые определяют впечатляющие возможности компьютеров, прочно опираются на математику. Многие задействованные в них решения взяты, что называется, «с полки», из уже существующего запаса математических идей. Например, алгоритм PageRank компании Google, который дает количественную оценку значимости веб-сайта и является основой целой индустрии с многомиллиардным оборотом. Даже в наимоднейшем алгоритме глубокого обучения искусственного интеллекта используются давно испытанные и проверенные математические концепции, такие как матрицы и взвешенные графы. В одном из методов решения такой прозаической задачи, как поиск документа по конкретной цепочке символов, задействована математическая абстракция под названием «конечный автомат».

Участие математики в этих интереснейших разработках, как правило, упускается из виду. Так что в следующий раз, когда средства массовой информации вытащат на авансцену новую чудесную способность компьютеров, не забывайте, что за кулисами прячется математика, а также технические решения, физика, химия и психология и что без поддержки этих скрытых от глаз помощников цифровая суперзвезда вряд ли появилась бы на небосклоне.

Значимость математики в современном мире легко недооценить, потому что почти все, что связано с математикой, происходит за кулисами. Прогуляйтесь по улице любого города, и вы увидите ошеломляющее количество вывесок, которые кричат о важности банков, овощных магазинов, супермаркетов, модных бутиков, точек автосервиса и фастфуда, юристов, предметов старины, благотворительных организаций и тысячи других заведений и профессий. А вот бронзовой таблички, извещающей о том, что здесь консультирует математик, не найти. И ни один супермаркет не продаст вам немного «консервированной математики».

Однако стоит копнуть поглубже, и значимость математики быстро становится очевидной. Без уравнений аэродинамики невозможно конструировать самолеты. Навигация опирается на тригонометрию. Сегодня мы пользуемся навигацией совсем не так, как делал это Христофор Колумб, поскольку математика у нас встроена в электронные устройства и нам не приходится пользоваться пером, чернилами и навигационными таблицами, но базовые принципы остаются примерно теми же. Для разработки новых лекарств необходима статистика, без которой невозможно обеспечить их безопасность и эффективность. Спутниковая связь невозможна без глубокого понимания небесной механики. Прогнозирование погоды требует решения уравнений, описывающих движение атмосферных масс, количество содержащейся в них влаги, температуру и взаимодействие всех этих факторов. Можно привести тысячи разных примеров. Мы не замечаем, что в них задействована математика, ведь для использования результатов это знать необязательно.

Что же делает математику столь полезной для такого широкого набора видов человеческой деятельности?

Этот вопрос не нов. Еще в 1959 году физик Юджин Вигнер прочел в Нью-Йоркском университете лекцию{2} под названием «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». В ней он сосредоточился на науке, но то же самое можно было бы сказать и о непостижимой эффективности математики в сельском хозяйстве, медицине, политике, спорте… в общем, всюду, куда ни глянь. Сам Вигнер надеялся, что сфера применения математики будет расширяться. И она, безусловно, расширяется.

Ключевое слово непостижимая в названии лекции Вигнера вызывает удивление. Использование математики по большей части вполне постижимо, если, конечно, разобраться в том, какие методы задействованы в решении задачи или при создании гаджета. Например, совершенно логично, что инженеры применяют уравнения аэродинамики при конструировании самолетов. Для этого аэродинамика в свое время и создавалась. Математический аппарат, используемый в прогнозировании погоды, в значительной мере создавался именно с этой целью. Статистика уходит корнями в открытие глобальных закономерностей в данных о поведении людей. Математика, необходимая для конструирования вариофокальных объективов, необъятна, но по большей части она разрабатывалась как раз для оптики.

С точки зрения Вигнера, возможности математики в решении важных задач становятся непостижимыми при отсутствии связи между первоначальной целью разработки математического аппарата и его последующим использованием. Вигнер начал свою лекцию с истории, которую я перескажу своими словами.

Встретились два бывших одноклассника. Один из них, статистик, исследующий демографические тенденции, показал другому свою статью, которая начиналась со стандартной в статистике формулы нормального распределения, или колоколообразной кривой{3}. Он объяснил, что означают в ней различные символы – вот численность населения, вот среднее значение по выборке – и как при помощи этой формулы можно узнать численность населения, не пересчитывая всех поголовно. Его одноклассник заподозрил, что приятель шутит, но не был в этом уверен и начал расспрашивать об остальных обозначениях и в конечном итоге добрался до символа, который выглядел так: π.

– Что это за значок? Выглядит знакомо.

– Да, это число пи – отношение длины окружности к ее диаметру.

– Теперь я точно знаю, что ты меня разыгрываешь, – сказал приятель. – Разве окружность имеет какое-то отношение к численности населения?

Прежде всего надо отметить, что скептицизм приятеля совершенно понятен. Здравый смысл подсказывает, что две такие несопоставимые концепции просто не могут быть связаны. В конце концов, одна имеет отношение к геометрии, другая – к людям. Однако, несмотря на здравый смысл, такая связь существует. Колоколообразная кривая описывается формулой, в которой, как ни странно, фигурирует число π. И это не просто удобная аппроксимация, в ней действительно стоит число, в точности равное нашему старому знакомому π. Но причина, по которой это число фигурирует в формуле колоколообразной кривой, неочевидна даже для математиков, и вам потребуется углубленное знание дифференциального исчисления, чтобы понять, откуда оно берется, не говоря уже о том почему.

Позволю себе рассказать еще одну историю о числе π. Несколько лет назад мы делали ремонт в ванной на первом этаже. Спенсер, поразительно разносторонний мастер, который пришел укладывать плитку, узнал, что я пишу популярные книги по математике.

– У меня есть математическая задачка для вас, – сказал он. – Мне поручили уложить плитку на пол в круглой комнате, и теперь нужно узнать ее площадь, чтобы выяснить, сколько потребуется плитки. Была ведь какая-то формула, которую мы учили…

– Пи эр квадрат, – ответил я.

– Вот-вот, она самая!

Я напомнил ему, как нужно пользоваться этой формулой. Он ушел счастливый, получив ответ на задачу с плиткой, подписанный экземпляр одной из моих книг и вдобавок сделав открытие – оказывается, математика, которую изучали в школе, может быть, вопреки давним убеждениям, полезна в его нынешней профессии.

Разница между двумя историями очевидна. Во втором случае π фигурирует потому, что это число изначально было введено для решения задач именно такого рода. Это простая история об эффективности математики. В первом случае π тоже участвует в решении задачи, но его присутствие удивительно. Это история о непостижимой эффективности: о применении математической концепции в области, совершенно не связанной с ее происхождением.

В этой книге я не буду распространяться о разумных и понятных применениях моего предмета. Они достойны, они интересны, они точно такая же часть математического ландшафта, как все остальное, они ничуть не менее важны, но вряд ли заставят кого-нибудь удивиться и воскликнуть: «Вот это да!» Кроме того, они могут создать впечатление у власти предержащей, что единственный способ развития этой науки состоит в постановке задач перед математиками, которые будут изобретать способы их решения. В таких целенаправленных исследованиях нет ничего плохого, но они подобны драке одной рукой. История же раз за разом демонстрирует ценность второй руки – поразительные возможности человеческого воображения. Особую мощь математике придает сочетание двух способов мышления, которые дополняют друг друга.

Например, в 1736 году великий математик Леонард Эйлер обратился к забавной небольшой головоломке, связанной с кёнигсбергскими мостами. Он заинтересовался ею потому, что она, похоже, требовала геометрии нового типа, которая меняла обычные представления о длинах и углах. Но он никак не мог предвидеть, что в XXI веке предмет, начало которому положило его решение, поможет множеству пациентов найти почку для пересадки и тем самым сохранить жизнь. Для начала отметим, что даже идея пересадки почки показалась бы в то время чистой фантазией, а если и нет, то связь ее с той головоломкой точно выглядела бы нелепицей.

И кто мог бы вообразить, что открытие заполняющих пространство кривых – кривых, проходящих через каждую точку заполненного квадрата, – сможет помочь программе Meals on Wheels планировать маршруты доставки? Точно не математики, которые изучали эти вопросы в 1890-е годы и которых интересовало, как можно определить такие заумные концепции, как «непрерывность» и «измерение». Кстати, поначалу им пришлось объяснять, почему дорогие их сердцу математические представления могут оказаться ошибочными. Многие коллеги тогда осуждали все это мероприятие как ошибочное и вредное. Со временем все поняли, что бесполезно жить в блаженном неведении и считать, что все будет замечательно работать, если на самом деле не будет.

Не только математика прошлого используется таким образом. Методы трансплантации почки опираются на многочисленные современные расширения первоначального озарения Эйлера, к которым относятся, в частности, алгоритмы комбинаторной оптимизации, позволяющие делать наилучший выбор из громадного спектра возможностей. Среди множества математических методов, используемых в компьютерной анимации, немало таких, которым от роду насчитывается с десяток лет, а то и меньше. В качестве примера можно привести «пространство форм»[1] – пространство бесконечной размерности, состоящее из кривых, которые считаются одной и той же кривой, если различаются только координатами. С их помощью анимационные последовательности становятся более гладкими и естественными на вид. Вездесущая гомология – еще одно недавнее изобретение – появилась в результате того, что специалисты по чистой математике хотели вычислять сложные топологические инварианты, которые подсчитывают число многомерных отверстий в геометрических фигурах. Помимо прочего, их метод позволил сетям датчиков сигнализации обеспечивать полное покрытие территории при защите зданий или военных баз от вторжения. Абстрактные концепции из алгебраической геометрии – «суперсингулярные изогенные графы» – могут сохранять безопасность интернет-коммуникаций, даже когда для взлома начнут применяться квантовые компьютеры. Эти устройства настолько новы, что существуют пока только в рудиментарном виде, но они разнесут современные криптосистемы в пух и прах, если удастся полностью реализовать их потенциал.

Математика не просто время от времени преподносит нам подобные сюрпризы. Это уже стало для нее обыкновением. Мало того, с точки зрения многих математиков, эти сюрпризы и есть самые интересные варианты применения их дисциплины – и главное основание для того, чтобы считать математику именно дисциплиной, а не разрозненным набором фокусов, индивидуальным для каждого типа задач.

По словам Вигнера, «чрезвычайная эффективность математики в естественных науках есть нечто загадочное, не поддающееся рациональному объяснению». Конечно, это правда, что математика выросла в первую очередь из физических задач, но Вигнера удивляла вовсе не эффективность дисциплины в тех областях, для которых она была разработана. Его ставила в тупик эффективность математики в областях, никак на первый взгляд с нею не связанных. Дифференциальное и интегральное исчисление выросло из исследований Исаака Ньютона, посвященных движению планет, поэтому не особенно удивительно, что оно помогает понять, как движутся планеты. Удивительно, однако, то, что дифференциальное исчисление позволяет осуществлять статистическую оценку народонаселения, как в маленьком примере Вигнера, объяснять изменения количества рыбы, выловленной в Адриатическом море во время Первой мировой войны{4}, управлять ценообразованием опционов в финансовом секторе, помогать инженерам конструировать пассажирские самолеты или быть жизненно важным для телекоммуникаций. И все потому, что дифференциальное исчисление изначально не предназначалось ни для одной из перечисленных целей.

Вигнер был прав. То, как математика раз за разом появляется без приглашения в физике, а также в большинстве других областей человеческой деятельности – настоящая загадка. В соответствии с одним из предположений, Вселенная «состоит» из математики и люди всего лишь понемногу открывают для себя этот основной ее элемент. Я не собираюсь с этим спорить, но, если такое объяснение верно, оно заменяет одну загадку на другую, еще более глубокую. Почему наша Вселенная состоит из математики?

На более прагматичном уровне можно утверждать, что математика обладает рядом свойств, которые помогают ей стать непостижимо эффективной по Вигнеру. Я согласен, что одно из них – ее многочисленные связи с естественными науками, которые приносят в мир человека преобразующие технологии. Многие великие математические инновации в самом деле родились в процессе естественно-научных исследований. Другие уходят корнями в потребности человека. Появление цифр обусловила потребность ведения хозяйственного учета (сколько у меня овец?). Геометрия означает «измерение земли» и изначально была тесно связана с налогообложением земель, а в Древнем Египте еще и со строительством пирамид. Тригонометрия возникла из астрономии, навигации и картографии.

Однако этого мало для адекватного объяснения, потому как другие великие математические инновации связаны не с естественно-научными исследованиями или потребностями людей. Простые числа, комплексные числа, абстрактная алгебра, топология – главной мотивацией для открытия/изобретения подобных инструментов было человеческое любопытство и ощущение закономерности. Это вторая причина, по которой математика так эффективна: математики используют ее для поиска закономерностей и выявления внутренней структуры. Они ищут красоту, красоту не формы, а логики. Ньютону, пытавшемуся понять движение планет, решение пришло, когда он стал думать как математик и искать более глубокие закономерности в груде необработанных астрономических данных. Тогда-то он и предложил свой закон всемирного тяготения{5}. Многие величайшие математические идеи вообще не связаны с реальным миром. Пьер де Ферма, юрист и математик-любитель XVII века, сделал ряд фундаментальных открытий в теории чисел: открыл глубокие закономерности в поведении обычных целых чисел. Потребовалось три столетия, чтобы его работы в этой области нашли практическое применение, но сегодня без них были бы невозможны коммерческие транзакции, которые являются движущей силой интернета.

Еще одно свойство математики, которое с конца XIX века становится все более очевидным, это общность. У различных математических структур много общего. В элементарной алгебре действуют такие же правила, что и в арифметике. Все виды геометрии (евклидова, проективная, неевклидова и даже топология) тесно связаны друг с другом. Это скрытое единство можно сделать явным, если с самого начала работать с обобщенными структурами, которые подчиняются конкретным правилам. Достаточно разобраться в общих принципах, и все конкретные примеры станут очевидными. Это позволяет сберечь немало сил, которые иначе расходовались бы понапрасну – ведь пришлось бы делать, по существу, одно и то же много раз с использованием незначительно различающихся языков. Однако у такого подхода есть один недостаток: как правило, он делает дисциплину более абстрактной. Вместо того чтобы говорить о знакомых вещах, таких как числа, обобщенный подход имеет дело с чем-то, подчиняющимся тем же правилам, что и числа, а называться это может, например, «нётерово кольцо», «тензорная категория» или «топологическое векторное пространство». Когда абстракции такого рода доводятся до крайности, трудно понять, что эти общности собой представляют, не говоря уже о том, как их использовать. Тем не менее они настолько полезны, что наш мир уже не смог бы без них функционировать. Хотите Netflix? Кто-то должен произвести математический расчет. Это не волшебство, это только кажется волшебством.

Четвертое свойство математики, очень важное для нашего рассказа, – возможность ее переноса. Это следствие ее общности и причина, по которой необходима такая высокая степень абстракции. Безотносительно задачи, давшей повод для разработки, любая математическая концепция или метод обладает таким уровнем общности, который делает его применимым для решения совершенно других задач. В результате любая задача, которую можно переформулировать и уложить в подходящие рамки, становится решаемой. Простейший и самый эффективный способ создания переносимой математики – заложить возможность переноса в проект с самого начала, сделав общность явной.

Последние 2000 лет математика черпает вдохновение из трех основных источников: процессов в природе, потребностей общества и склонности к поиску закономерностей, свойственной человеческому разуму. На этих трех столпах держится все здание. Настоящее чудо, что, несмотря на многообразие мотиваций, математика полностью едина. Каждая ее отрасль, каковы бы ни были ее истоки и цели, тесно связана с остальными отраслями, и эти взаимосвязи становятся все более прочными и все более сложными.

Это указывает на пятую причину невероятно высокой эффективности математики, на ее единство. А рядом идет и шестая причина, которую я иллюстрирую множеством примеров: ее разнообразие.

Реальность, красота, общность, возможность переноса, единство, разнообразие. В целом все это обусловливает полезность.

Да, все очень просто.

2

Как политики выбирают своих избирателей

Анк-Морпорк, наигравшись с множеством форм управления, остановился на форме демократии, известной как «Один Человек, Один Голос». Тем самым Человеком был патриций; ему же принадлежал единственный Голос.

ТЕРРИ ПРАТЧЕТТ.Мор, ученик смерти

Древние греки много чего подарили миру: поэзию, драму, скульптуру, философию, логику. Кроме того, они дали нам геометрию и демократию, которые, как оказалось, связаны между собой теснее, чем кто-либо мог предположить, и меньше всего сами греки. Конечно, политическая система Древних Афин представляла собой очень ограниченную форму демократии – голосовать могли только свободные мужчины, но не женщины и не рабы. Так или иначе, в эпоху наследных правителей, диктаторов и тиранов афинская демократия была заметным шагом вперед. Как и греческая геометрия, которая в изложении Евклида Александрийского подчеркивала, как важно делать базовые предположения ясными и четкими, а все остальное выводить из них строго логически и системно.

Но как математика может использоваться в политике? Политика – это сфера человеческих отношений, соглашений и обязательств, а математика – это холодная абстрактная логика. В политических кругах риторика берет верх над логикой, а бездушные математические расчеты кажутся очень далекими от политических споров. Но демократическая политика подчиняется правилам, а у них бывают следствия, которые не всегда можно предвидеть, когда правила вводятся. Новаторские работы Евклида по геометрии, собранные в его знаменитых «Началах», установили стандарт того, как нужно делать выводы из правил. Фактически это неплохое определение математики в целом. В любом случае сегодня, всего лишь через 2500 лет, математика начинает проникать и в политический мир.

Как ни странно, в условиях демократии политики, на словах преданные идее о том, что решения должен принимать «Народ», всеми силами стараются не допустить этого. Такая тенденция восходит к той самой первой демократии в Древней Греции, где право голоса давалось только мужчинам-афинянам, составлявшим около трети взрослого населения. Одновременно с зарождением идеи выбирать руководителей и направления политики путем народного голосования появилась еще более привлекательная идея подмять под себя этот процесс и взять под контроль тех, кто голосует, и результаты голосования. Это несложно, даже когда каждый избиратель имеет один голос, потому что результаты голосования зависят от контекста, в котором оно происходит, а контекст всегда можно подтасовать. Как деликатно выражается профессор журналистики Уэйн Докинз, в итоге политики начинают выбирать своих избирателей, а не избиратели политиков{6}.

Вот здесь-то и вступает в игру математика. Не в политических дебатах, а в структуре правил этих дебатов и в контексте, в котором они проводятся. Математический анализ – обоюдоострое оружие. Он может открывать новые, хитроумные методы подтасовки голосов, а может и выявлять подобную практику, указывать на ее свидетельства и способствовать предотвращению.

Кроме того, математика подсказывает, что в любой демократической системе должны присутствовать элементы компромисса. Невозможно получить все, что вы хотите, каким бы желанным это ни было, поскольку список желаемого всегда внутренне противоречив.

Газета The Boston Gazette подарила 26 марта 1812 года миру новое слово: джерримандер (gerrymander), что означало манипуляции с нарезкой избирательных округов. Первоначально это слово писалось через дефис – «джерри-мандер» – и было результатом словослияния, которым впоследствии широко пользовался Льюис Кэрролл, то есть сложения частей двух общеизвестных слов. Часть «мандер» представляла собой концовку слова «саламандра», а часть «джерри» – концовку имени Элбриджа Джерри, губернатора штата Массачусетс. Точно неизвестно, кто первым сложил две концовки вместе, но историки считают, что это был один из редакторов газеты: Натан Хейл, Бенджамин Рассел или Джон Рассел.

Что же такого сделал Элбридж Джерри, что его имя навсегда соединилось с названием похожего на ящерицу существа, жившего, согласно средневековому фольклору, в огне? Подтасовал результаты выборов.

Говоря точнее, именно Джерри протолкнул закон, изменивший границы избирательных округов в Массачусетсе на выборах в сенат штата. Деление на избирательные округа, как это называют, естественным образом связано с определением границ. Это обычное дело и сегодня, и в давние времена для большинства демократий. Очевидная причина деления на округа – практические соображения: неудобно принимать решения, если по каждому предложению должна голосовать вся страна. (Наглядный пример – Швейцария: до четырех раз в год федеральный совет отбирает предложения для голосования граждан и устраивает, по существу, серию референдумов. При этом женщины там не имели права голоса до 1971 года, а один из кантонов даже продержался до 1991 года.) Существует освященная временем традиция избирать всеобщим голосованием сравнительно небольшое число представителей и уже этим представителям давать право принимать решения. Один из наиболее справедливых методов – пропорциональное представительство, когда число представителей той или иной политической партии пропорционально числу полученных ею голосов. Чаще всего население разбивают на округа, и каждый округ избирает определенное число представителей, примерно пропорциональное числу избирателей в нем.

Например, на президентских выборах в США каждый штат голосует за определенное число «выборщиков» – членов коллегии выборщиков. Выборщики имеют по одному голосу, и кто станет президентом, определяется простым большинством их голосов. Эта система появилась в те времена, когда доставить сообщение из американской глубинки в центр можно было лишь верхом или в экипаже, запряженном лошадьми. Железнодорожные магистрали и телеграф появились позже. В те дни процесс подсчета голосов громадного числа людей шел слишком медленно{7}. Но эта система, помимо прочего, передавала контроль в руки членов коллегии выборщиков. В случае британских парламентских выборов страна делится (в основном географически) на избирательные округа, каждый из которых выбирает одного члена парламента. Затем партия (или коалиция партий), получившая максимальное число мест в парламенте, формирует правительство и выдвигает одного из своих членов парламента на пост премьер-министра. Премьер-министр Великобритании обладает значительными полномочиями и во многом напоминает президента.

Существует еще одна скрытая причина для передачи процедуры принятия демократических решений в руки небольшого числа «проводников»: так проще манипулировать голосами. Все подобные системы имеют внутренние недостатки, которые часто приводят к странным результатам, а при случае ими можно воспользоваться, чтобы игнорировать волю народа. В наши времена уже не раз на президентских выборах в США полное число голосов избирателей, отданных за проигравшего кандидата, было больше, чем у победившего кандидата. Хотя нынешний метод выборов президента не зависит от воли избирателей, при современных средствах коммуникации единственная причина, по которой США не переходят на более справедливую систему, видится в том, что многих власть имущих устраивает именно такой вариант.

Основная проблема здесь – «бесполезные голоса». В каждом штате кандидату для победы нужна половина общего числа проголосовавших плюс один голос (или полголоса, если общее число нечетное). Голоса, полученные сверх этого порога, никак не влияют на то, что происходит на этапе работы коллегии выборщиков. Так, на президентских выборах 2016 года Дональд Трамп получил 304 голоса выборщиков, а Хиллари Клинтон – 227 голосов, но число проголосовавших за Клинтон избирателей было на 2,87 млн больше, чем у Трампа. Так что Трамп стал пятым президентом США, получившим этот пост при проигранном общенародном голосовании.

Джерримандер – подтасовка голосов по рецепту Джерри. Считается, что эту карикатуру нарисовал в 1812 году Элкана Тисдейл

Границы американских штатов практически неизменны, так что проблемы манипуляции ими нет. А вот внутри границы округов могут изменяться, причем обычно это делает партия, находящаяся у власти, и здесь проявляется еще более коварный порок системы. Дело в том, что партия может проводить границы таким образом, чтобы гарантировать конкурирующей партии потерю необычно большой доли голосов. Возьмем Элбриджа Джерри и выборы в сенат. Когда массачусетские избиратели увидели карту избирательных округов, они не заметили почти ничего необычного. Однако один из округов заметно отличался от остальных. Он объединял 12 административных районов запада и севера штата и имел сложную форму. Политическому карикатуристу, автору рисунка, который вскоре появился в The Boston Gazette, – скорее всего, это был художник, дизайнер и гравер Элкана Тисдейл, – этот округ показался очень похожим на саламандру.

Джерри принадлежал к Демократической республиканской партии, конкурировавшей в то время с Федералистской партией. На выборах 1812 года федералисты завоевали палату представителей штата и пост губернатора, в результате чего Джерри остался без места. Однако проведенное им разбиение на округа на выборах в сенат штата позволило Демократической республиканской партии одержать победу.

Математика манипуляций по рецепту Джерри начинается с анализа того, как они делаются. Существуют две основные тактики разбиения на округа: концентрация и распыление. При концентрации ваши собственные голоса распределяются как можно равномернее для получения небольшого, но решающего большинства в как можно большем числе округов, а остальные округа сдаются врагу. Прошу прощения, оппозиции. Распыление предполагает разбивку голосов оппозиции так, чтобы она проиграла в как можно большем числе округов. Пропорциональное представительство, при котором число представителей пропорционально полному числу голосов, полученному каждой партией (или предельно близко к нему), позволяет избежать подобных фокусов и является более справедливым. Неудивительно, что Конституция США делает пропорциональное представительство незаконным, потому что, согласно ей, каждый округ должен иметь только одного представителя. В 2011 году Великобритания провела референдум по другой альтернативе, системе единого передаваемого голоса: народ проголосовал против предлагавшихся изменений. Референдума по пропорциональному представительству в Великобритании никогда не было.

Нарезка избирательных округов в Джерримандии. Вверху слева: 50 районов следует разделить на пять округов по 10 районов в каждом. Предпочтения избирателей (голосуют они за Темную или за Светлую партию) отражены на карте оттенком серого. Вверху справа: концентрация дает Светлым три округа, а Темным только два. Внизу слева: распыление отдает Темным все пять округов. Внизу справа: такое разбиение обеспечило бы пропорциональное представительство

Вот как работают концентрация и распыление в вымышленном примере с очень простой географией и столь же простым распределением голосов.

В государстве Джерримандия за власть борются две политические партии, Светлые и Темные. В этом государстве 50 районов, которые следует распределить по пяти избирательным округам. На недавних выборах Светлые получили большинство в 20 северных районах, тогда как Темные имели большинство в 30 южных районах (рис. вверху слева). Правительство Светлых, которые с минимальным перевесом победили в предыдущем голосовании, изменило границы избирательных округов, обеспечив большинство своих сторонников в трех округах (вверху справа), так что теперь Светлые побеждают в трех округах, а Темные получают только два. После этого Темная партия оспаривает изменение границ в суде на том основании, что форма и границы новых избирательных округов с очевидностью говорят о подтасовке, и умудряется получить контроль над изменением границ перед следующими выборами. Темные используют метод распыления (внизу слева), чтобы обеспечить себе победу во всех пяти избирательных округах.

Если избирательные округа должны состоять из 10 небольших квадратных районов каждый, лучшее, что могут получить Светлые методом концентрации, это три округа из пяти. Им необходимо выиграть выборы в шести районах из 10, чтобы победить в округе в целом, а всего они контролируют 20 районов. Это дает им три шестерки плюс еще два района, которые оказываются бесполезными. Лучшее, чего могут добиться Темные методом распыления, – это получить все пять округов. Пропорциональное представительство дало бы Светлым два округа, а Темным – три, как показано на рисунке внизу справа. (На практике пропорциональное представительство не достигается разбиением на избирательные округа.)

Страны с диктаторским или близким к нему режимом в большинстве своем проводят выборы, чтобы показать миру, насколько они демократичны. Результаты этих выборов обычно подтасовываются, и даже если их разрешено оспорить в суде, разбирательства никогда не бывают успешными из-за небеспристрастности судов. В демократических странах можно не только опротестовать изменение границ избирательных округов, но и выиграть дело, потому что суды не зависят от правящей партии. Если, конечно, судьи не назначаются по партийной принадлежности.

В подобных случаях основная проблема, с которой сталкиваются судьи, носит неполитический характер. Все упирается в поиск объективного способа, позволяющего определить, имела ли место подтасовка. На каждого «эксперта», который посмотрит на карту и заявит, что видит явный случай подтасовки, всегда найдется другой «эксперт», который придет к противоположному выводу. Необходимы более объективные методы, чем личное мнение и словесные аргументы.

Здесь определенно нужна математика. Формулы и алгоритмы позволяют количественно оценивать разумность и справедливость границ округов и выявлять их необъективность в четко определенном смысле. Сама по себе разработка этих формул и алгоритмов не объективный процесс, конечно, но, как только они становятся общепринятыми (а это отчасти процесс политический), каждый может воспользоваться ими и проверить результаты независимо. Это дает суду логическую основу для принятия решения.

Разобравшись в коварных методах, которые дают политикам возможность изменять границы избирательных округов в свою пользу, можно придумать математические критерии или правила, позволяющие распознавать применение этих методов. Ни одно подобное правило не может быть идеальным – более того, существует доказательство, что это невозможно, к которому я перейду, как только мы поймем суть правил. В настоящее время используются пять подходов:

• Выявление избирательных округов странной формы.

• Выявление несоответствия в соотношении получаемых мест и числа голосов.

• Оценка количества бесполезных голосов, создаваемого данным делением на округа, и его сравнение с тем значением, которое законно считается приемлемым.

• Анализ всех возможных конфигураций округов и оценка вероятного результата при каждой из них с точки зрения количества полученных мест на основе существующих данных об избирателях, чтобы понять, является ли предложенная карта статистической аномалией.

• Выработка процедур, гарантирующих, что итоговое решение будет справедливым, что его сочтут справедливым и что обе партии согласятся с его справедливостью.

Пятый подход – самый удивительный, но, как ни странно, его на самом деле можно реализовать. Рассмотрим эти подходы по очереди, оставив удивительное напоследок.

Во-первых, округа странной формы.

Еще в 1787 году Джеймс Мэдисон писал в «Записках федералиста», что «естественным пределом любой демократии является расстояние от центральной точки, которое позволит самым далеко живущим гражданам собираться так часто, как того требуют их общественные функции». Если воспринимать это буквально, он предлагал делать избирательные округа приблизительно круглыми и не настолько большими, чтобы время пути от периферии до центра было чрезмерным.

Предположим, например, что основную поддержку политическая партия получает в прибрежных районах. Включение всех живущих там избирателей в один округ приведет к тому, что округ получится длинным, узким и извилистым и будет тянуться вдоль всего побережья. Это совершенно неестественно в сравнении с остальными компактными и разумными по форме округами. Нетрудно прийти к выводу, что здесь происходит что-то подозрительное, а границы проведены так, чтобы сделать бесполезными как можно больше голосов избирателей этой партии. Странная форма перекроенных избирательных округов часто свидетельствует о манипуляциях, как это было в случае необычного округа губернатора Джерри.

Правоведы могут спорить до умопомрачения о том, какую именно форму следует считать странной. Поэтому в 1991 году юристы Дэниел Полсби и Роберт Поппер предложили способ количественной оценки необычности формы, известный сегодня как тест Полсби – Поппера{8}. Он вычисляется по формуле:

4π × площадь округа/квадрат периметра округа.

Человек, хоть немного знакомый с математикой, сразу обратит внимание на множитель 4π. Подобно приятелю Вигнера, который не понимал, как численность населения связана с окружностями, мы можем спросить, какое отношение окружности имеют к политическим играм с избирательными округами. Ответ необычайно прост и прямолинеен: круг – самая компактная из геометрических фигур.

Этот факт имеет давнюю историю. Согласно древнегреческим и древнеримским источникам, а именно поэме Вергилия «Энеида» и «Филипповой истории» Гнея Помпея Трога, основательницей города-государства Карфагена была царица Дидона. Историческое повествование Трога кратко пересказал Юниан Юстин в III веке, и в его рассказе мы находим поразительную легенду. Дидона и ее брат Пигмалион были наследниками неназванного царя города Тира. После смерти царя народ хотел, чтобы им правил Пигмалион, несмотря на юный возраст. Дидона вышла замуж за своего дядю Акербаса, который, по слухам, обладал несметными сокровищами. Пигмалион захотел получить эти сокровища, а потому убил Акербаса. Дидона сделала вид, что выбросила его сокровища в море, хотя на самом деле утопила просто мешки с песком. Опасаясь, вполне разумно, гнева Пигмалиона, она бежала сначала на Кипр, а затем на северное побережье Африки. Там Дидона обратилась к берберскому царю Ярбу с просьбой выделить небольшой участок земли, где она могла бы пожить какое-то время. Тот ответил, что разрешает ей забрать себе столько земли, сколько удастся окружить бычьей шкурой. Дидона разрезала шкуру на тонкие полоски и охватила ими близлежащий холм, который до сего дня носит название Бирса, что значит «шкура». Основанное там поселение стало городом Карфагеном, и, когда он вырос и разбогател, Ярб сказал Дидоне, что она должна выйти за него замуж – или ее город будет разрушен. Дидона принесла множество жертв на громадном костре, сделав вид, что хочет почтить таким образом своего первого мужа и подготовиться к браку с Ярбом, затем взошла на костер, сказала, что скорее присоединится к первому мужу, чем уступит притязаниям Ярба, и пронзила себя мечом.

Мы не знаем, существовала ли Дидона на самом деле (хотя Пигмалион определенно существовал, и в некоторых источниках наряду с ним упоминается и Дидона). Поэтому говорить об исторической точности этой легенды бессмысленно. Как бы то ни было, в исторической легенде кроется легенда математическая: Дидона использовала шкуру, чтобы окружить холм, выложить из ремешков окружность вокруг него. Почему окружность? Потому что – как утверждают математики – она знала, что именно окружность охватывает максимально большую площадь для заданного периметра{9}. Этот факт носит впечатляющее название «изопериметрическое неравенство». Он был известен еще в Древней Греции, но строгое доказательство получил только в 1879 году, когда математик Карл Вейерштрасс заполнил пробел в пяти различных доказательствах, опубликованных геометром Якобом Штейнером. Штейнер доказал, что если оптимальная фигура существует, то это должна быть окружность, но он не сумел доказать ее существование{10}.

Изопериметрическое неравенство гласит, что

квадрат периметра больше или равен 4π × площадь.

Это применимо к любой плоской геометрической фигуре, у которой есть периметр и площадь. Более того, постоянная 4π – наилучшая из возможных (ее невозможно сделать больше), и вариант «больше или равно» превращается в равенство только в том случае, когда фигура – круг{11}. Именно изопериметрическое неравенство навело Полсби и Поппера на мысль о том, что величина, которую я назвал тестом Полсби – Поппера (ПП), может служить эффективным способом оценки округлости геометрической фигуры. Вот несколько примеров:

Круг: ПП = 1;

Квадрат: ПП = 0,78;

Равносторонний треугольник: ПП = 0,6.

Для избирательного округа по Джерри ПП составляет примерно 0,25.

Однако у ПП есть серьезные недостатки. Необычные формы избирательных округов иногда бывают неизбежными из-за таких особенностей местной географии, как реки, озера, леса и очертания побережий. Более того, избирательный округ может быть аккуратным и компактным и при этом очевидно организованным с целью манипуляций. Так, карта избирательных округов на выборах 2011 года в законодательное собрание штата Пенсильвания выглядела очень причудливо и неестественно, и в 2018 году республиканцы подготовили предложения по ее изменению. Предложенные округа полностью соответствовали пяти параметрам, определенным Верховным судом штата, но математический анализ распределения голосов в округах показал, что границы все равно не были объективными и заметно влияли на результаты голосования.

Даже масштаб карты может вызвать проблемы. Основная из них – фрактальность геометрии. Фрактал – это геометрическая фигура с детальной структурой во всех масштабах. Многие природные формы больше похожи на фракталы, чем на евклидовы треугольники и окружности. Береговые линии и облака можно очень эффективно моделировать в виде фракталов, что позволяет отразить их замысловатую форму. Термин «фрактал» пустил в обращение в 1975 году Бенуа Мандельброт, разработавший и активно продвигавший новую область – фрактальную геометрию. Береговые линии и реки представляют собой чрезвычайно извилистые фрактальные кривые, и их длина при измерении сильно зависит от того, насколько мелкий масштаб при этом используется. На самом деле длина фрактальной кривой теоретически бесконечна, что в переводе на язык повседневной реальности звучит так: «Измеренная длина возрастает безгранично по мере того, как вы рассматриваете объект все в больших подробностях». Так что юристы могут спорить до бесконечности об измерении периметра, не говоря уже о том, был ли данный избирательный округ изменен с целью манипуляции.

Поскольку странность формы такой неточный параметр, имеет смысл попробовать что-нибудь более определенное. Соответствуют ли результаты голосования статистическим избирательным паттернам электората?

Если на выборах идет борьба за 10 мест, а симпатии избирателей распределяются 60:40, то можно ожидать, что шесть мест получит одна партия, а четыре – другая. Если же одна партия получит все 10 мест, то можно заподозрить подтасовку. Однако на самом деле все не так просто. Результат такого рода обычен в мажоритарных системах голосования. Так, во время всеобщих выборов 2019 года в Великобритании Консервативная партия получила 44 % голосов, но 365 из 650 мест, что составляет 56 % всех мест. Лейбористы получили 32 % голосов и 31 % мест. Шотландские националисты с 4 % голосов получили 7 % мест (хотя это особый случай, поскольку их избирательная база целиком находится в Шотландии). Либеральные демократы получили 12 % голосов и 2 % мест. Большая часть несоответствий здесь была следствием региональных избирательных паттернов, а не странно проведенных границ избирательных округов. В конце концов, если результат двухпартийных выборов одного человека, скажем президента, решается простым большинством, то 50 % голосов (плюс один голос) будет достаточно для получения поста целиком.

Вот американский пример. В штате Массачусетс на федеральных и президентских выборах с 2000 года республиканцы получали в целом более трети голосов. Тем не менее в последний раз республиканцы занимали в этом штате хотя бы одно место в палате представителей аж в 1994 году. Подтасовка? Похоже, нет. Если эта треть республиканских избирателей распределена по территории штата более или менее равномерно, то, как бы вы ни проводили границы округов – исключая экстремальные варианты, при которых границы огибают дома отдельных граждан, – доля сторонников Республиканской партии в каждом округе составит приблизительно одну треть. Демократы победят везде. Именно так и происходило все эти годы.

Слева: предложение Светлых, при котором границы двух округов оставлены на усмотрение Темных. Справа: наиболее компактный вариант, который Темные могли бы выбрать

Во время одних реальных выборов математики показали, что такой эффект может оказаться неизбежным, как ни проводи границы, по крайней мере если не делить на части отдельные городки. В 2006 году, когда Кеннет Чейз боролся против Эдварда Кеннеди на выборах в сенат США, Массачусетс был разделен на девять избирательных округов. Чейз получил 30 % голосов, но проиграл во всех девяти округах. Компьютерный анализ вариантов показал, что ни один набор городов, объединенных в округ, даже если брать города, разбросанные по территории штата произвольным образом, не принес бы Чейзу победу. Его сторонники были распределены по большинству городов довольно равномерно, и обеспечить ему победу не удалось бы, какие границы ни проведи.

В уже знакомой нам Джерримандии, когда Темные выиграли во всех пяти округах, Светлые опротестовали это деление на округа на основании того, что прямоугольные округа получились слишком длинные и узкие, так что Темные, очевидно, занимались распылением. Суд постановил, что округа должны быть более компактными. Светлые разработали схему трех компактных округов и великодушно предложили Темным самим решить, как разделить еще на два округа оставшиеся территории. Темные запротестовали, потому что такое разбиение отдавало Светлым три округа, а Темным оставляло только два, хотя сторонников у них было больше.

Это деление показывает еще два недостатка использования критерия компактности как средства обнаружения манипуляций. Хотя деление и компактно, оно все равно отдает Светлым 3/5 округов при наличии у них всего 2/5 голосов. К тому же не существует способа разбить оставшиеся территории на два компактных округа. Из-за особенностей географии в Джерримандии трудно добиться компактности и справедливости одновременно. А может быть, и невозможно, в зависимости от определений.

Поскольку критерий компактности небезупречен, подумаем, как еще можно распознать деление на округа в пользу одной из партий. Данные голосования говорят нам не только об исходе выборов, но и о том, что было бы, если бы распределение полученных сторонами голосов сдвинулось на определенную величину. Например, если бы при голосовании в каком-то округе было отдано 6000 голосов за Темных и 4000 за Светлых, то Темные выиграли бы. Если бы 500 избирателей перебежали от Темных к Светлым, то Темные все равно выиграли бы, но если бы мнение изменил 1001 избиратель, то Темные проиграли бы. Если бы голоса распределились как 5500 за Темных и 4500 за Светлых, то достаточно было бы переманить всего 501 избирателя, чтобы изменить результат. Короче говоря, по данным голосования в округе можно узнать не только о том, кто победил, но и о том, насколько близки результаты соперников.

Можно выполнить этот расчет для каждого округа, собрать результаты воедино и посмотреть, как распределение полученных мест меняется со сдвигом голосов, и получить кривую места-голоса. (На самом деле это ломаная линия с множеством прямолинейных участков, но для удобства ее сглаживают.) Рисунок слева показывает, как приблизительно должна выглядеть такая кривая для неподтасованных выборов. В частности, эта кривая должна пересекать 50 %-ный порог для мест при 50 %-ном распределении голосов, и она должна быть симметричной по обе стороны от этой точки при повороте на 180º.

На рисунке справа показана кривая места-голоса для карты округов во время выборов в конгресс штата Пенсильвания, при этом на горизонтальной оси отложены голоса Демократической партии. Демократам требовалось около 57 % голосов, чтобы получить 50 % мест. Эта карта впоследствии была изменена решением законодательного собрания штата.

В нескольких случаях Верховный суд США отверг обвинения в манипуляциях, сделанные на основании подобных расчетов, как, впрочем, и обвинения, основанные на недостаточной компактности округов. В деле LULAC v. Perry 2006 он все же принял решение об изменении некоторых границ избирательных округов в Техасе на том основании, что границы одного из округов противоречили Закону об избирательных правах. Хотя Верховный суд и объявил изменение избирательных округов в пользу одной из партий неконституционным, он фактически не отменил целиком ни одной карты округов.

График зависимости распределения мест от числа голосов. На горизонтальной оси отложен процент голосов, отданных за одну партию (показан интервал от 30 до 70 %). Вертикальная ось показывает процент мест, которые партия получила бы с таким количеством голосов

Главная причина, которую суд привел в обоснование своего отказа, состояла в том, что методы вроде кривой места-голоса построены на гипотетических предположениях относительно поведения избирателей в иных обстоятельствах. Возможно, для юристов это звучит убедительно, но математически это чепуха, поскольку кривая строится на основе реальных данных по голосованию и по точно определенной процедуре. Перенос голосов при расчете кривой не зависит от того, как конкретный избиратель может поступить в реальности. Это как посмотреть на счет в баскетбольном матче и сказать, что при счете 101:97 игра, должно быть, шла на равных, а при счете 120:45 – нет. Вы при этом не делаете предположений о том, как могли бы повести себя отдельные игроки, если бы играли лучше или хуже. Так что этот момент можно добавить к длинному и ничем не примечательному списку случаев неспособности закона понять или хотя бы просто оценить простую математическую логику. Якобы гипотетический характер этого совершенно строгого и основанного на фактах алгоритма служит предлогом для отказа от изменения карты избирательных округов Техаса.

В случае сомнительных юридических решений бесполезно поучать судей, поэтому сторонники математических методов распознавания манипуляций занялись поисками других показателей и критериев, которые невозможно отбросить по надуманным основаниям. Манипуляции заставляют сторонников одной из партий бесполезно тратить значительное количество голосов. Как только ваш кандидат получает большинство, все дополнительные голоса становятся лишними и никак не влияют на результат. А раз так, то при справедливом выборе границ избирательных округов обе партии должны тратить бесполезно примерно одинаковое число голосов. В 2015 году Николас Стефанопулос и Эрик Макги нашли новый метод подсчета бесполезных голосов – анализ разрыва в эффективности{12}. В деле Gill v. Whitford 2016 суд Висконсина объявил карту избирательных округов на выборах в законодательное собрание штата незаконной, и основанием для этого решения стал разрыв в эффективности. Чтобы посмотреть, как вычисляется разрыв в эффективности, упростим процесс до выбора из двух кандидатов.

Существует два основных способа сделать ваш голос бесполезным. Голос, отданный за проигравшего кандидата, бесполезен потому, что вы могли с тем же успехом не голосовать вообще. Лишний голос, отданный за победителя уже после того, как он набрал 50 %, бесполезен по той же причине. Справедливость этих утверждений зависит от реальных результатов и определяется задним числом: невозможно с уверенностью сказать, что ваш голос бесполезен, пока неизвестны результаты выборов. В ходе всеобщих выборов 2020 года в Великобритании кандидат от лейбористов в моем избирательном округе получил 19 544 голоса, а кандидат консерваторов – 19 143 голоса. Лейборист победил с перевесом в 401 голос при общем числе голосов, отданных за две партии, равном 38 687. Если бы какой-то избиратель решил не голосовать, перевес все равно составил бы 400 голосов. Но если бы от голосования воздержалось чуть больше 1 % сторонников Лейбористской партии, победил бы кандидат консерваторов.

Согласно определению, бесполезными у Консервативной партии стали все 19 143 голоса, а у Лейбористской партии – 200 голосов. Разрыв эффективности показывает, насколько у одной партии бесполезных голосов больше, чем у другой. В данном случае он равен:

Число бесполезных голосов консерваторов

минус

Число бесполезных голосов лейбористов

разделить на

Полное число голосов.

То есть (19 143–200)/38 687, что составляет +49 %.

И это всего один избирательный округ. Идея метода в том, чтобы рассчитать совокупный разрыв в эффективности для всех избирательных округов и добиться, чтобы законодатели установили целевое значение. Разрыв в эффективности всегда лежит между –50 % и +50 %, а справедлив разрыв, равный 0 %, поскольку в этом случае у обеих партий бесполезными оказывается одинаковое число голосов. В итоге Стефанопулос и Макги предложили считать, что разрыв в эффективности, выходящий за рамки ±8 %, указывает на манипуляции.

Однако и у этого способа измерения есть недостатки. Когда результаты близки, большой разрыв в эффективности неизбежен, и всего несколько голосов могут изменить его с почти +50 до почти –50 %. В моем избирательном округе манипуляций не было, несмотря на разрыв в эффективности +49 %. Если бы всего 201 человек, вместо того чтобы отдать голос лейбористам, проголосовал за консерваторов, он был бы равен –49 %. Если одной из партий просто везет и она побеждает в каждом округе, кажется, будто это результат манипуляций. Демографические факторы также могут искажать картину. В деле Gill v. Whitford защита справедливо указала на эти недостатки, но истцы заявили, что к данному случаю они отношения не имеют, и выиграли дело. Однако в целом такие возражения совершенно оправданны.

В 2015 году Майра Бернштейн и Мун Дучин{13} нашли у разрыва в эффективности еще ряд недостатков, а в 2018 году Джеффри Бартон показал, как можно устранить их{14}. Предположим, например, что у нас есть восемь округов и в каждом из них Светлые получают 90 голосов, тогда как Темным достаются оставшиеся 10. У Светлых при этом бесполезных голосов 40 × 8 = 320, а у Темных – 10 × 8 = 80, так что разрыв в эффективности составляет (320–80)/800 = 0,3 = 30 %. Если принять предложенный 8 %-ный порог, то такой разрыв в эффективности говорит о манипуляциях, направленных против Светлых. Но Светлые по результатам голосования получили все восемь мест!

Второй сценарий вскрывает еще один вопрос. Предположим, что Светлые побеждают в трех округах 51:49, тогда как Темные – в двух с таким же результатом 51:49. Тогда у Светлых пропадает 1 + 1 + 1 + 49 + 49 = 101 голос, а у Темных 49 + 49 + 49 + 1 + 1 = 149 голосов. Разрыв в эффективности составляет (101–149)/500 = –0,096 = –9,6 %, что говорит о манипуляциях против Темных. Однако Темные – партия меньшинства, ей не следует рассчитывать больше чем на два места, что они и делают. Получение Темными еще одного места дало бы партии меньшинства большую часть мест.

Слева: график зависимости числа мест от числа голосов показывает пропорциональное представительство (жирная линия) и область (выделена серым), в которой разрыв в эффективности считается справедливым. Справа: график модифицированного разрыва в эффективности: серая область окружает диагональную линию

Бартон объясняет обе проблемы использованием необработанных данных о бесполезных голосах. На любых выборах голоса сверх необходимого, отданные за победителя, пропадают напрасно, какими бы ни были границы округов. Бартон заменяет «бесполезные голоса» на «голоса, пропадающие без необходимости», вычисляя для каждой партии долю голосов, которые однозначно пропадут, и вычитая их из бесполезных голосов. При первоначальном определении график места-голоса дает узкую полосу вокруг линии, идущей от 25 % голосов внизу до 75 % наверху, как на рисунке слева. Диагональная линия показывает идеальный график для пропорционального представительства. То и другое совпадает лишь на очень небольшом участке вблизи распределения голосов 50:50. Если учитывать голоса, пропадающие без необходимости, то получается график, показанный справа. Здесь область приемлемого разрыва в эффективности плотно окружает диагональ, что, конечно, куда более разумно.

Еще один метод распознавания манипуляций заключается в рассмотрении альтернативных карт и сравнении гипотетических результатов с использованием данных о вероятных паттернах распределения голосов по всему региону, о разбивке которого на округа идет речь. Если карта, предложенная Темными, дает им 70 % мест, а большинство альтернативных карт – лишь 45 %, то они явно мухлюют.