Воображариум Лобачевского бесплатное чтение
Воображариум Лобачевского.
© Сергей Гурин. Россия, Рязань, 2025 год.
Предисловие
В декабре 2024 года посетил музей истории Казанского федерального университета. Гид, искренне преданная университету женщина, очень увлечённо и познавательно вела экскурсию. Страстный и насыщенный интересными фактами рассказ об истории университета не мог оставить равнодушным.
Однако, наиболее сильное впечатление оставила ее хвалебная речь о геометрии Н.И. Лобачевского, выдающегося математика, а также одного из ректоров КФУ. К тому же, в этом рассказе был упомянут еще один великий бунтарь ученого мира – А. Эйнштейн и его ТО.
Естественно, после этой оды победе Лобачевского над Евклидовой геометрией, и окончании более чем двухтысячелетней самозабвенной борьбы геометров с пресловутым пятым постулатом Евклида, стало необходимо подробнее познакомиться с предметом.
И, следуя рекомендациям самого Николая Ивановича, знакомство с его геометрией решил начать с работы "Геометрические исследования по теории параллельных линий". В электронной библиотеке КФУ, нашлось одноименное издание АН СССР 1945 года, в переводе и с комментариями, а также вступительными статьями и примечаниями профессора В.Ф. Кагана.
Выводы, к которым пришел при прочтении данной работы, изложил в данной статье.
Вводная часть
Начну с предмета «великого геометрического противостояния», завершившегося, как считается, тем самым откровением Лобачевского – пятого постулата Евклидовой геометрии.
Этот постулат или аксиома, в самой распространенной трактовке утверждает, что если две прямые линии пересекает третья прямая линия, и с одной стороны от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то первые две прямые линии с этой стороны обязательно пересекутся (чертеж №1).
Чертеж №1. Представление пятого постулата Евклида в трактовке пересекающихся линий.
Другая популярная трактовка:
–в одной плоскости через точку, не лежащую на прямой линии, можно провести лишь одну другую прямую линию, не пересекающуюся с первой. При этом, внутренние углы с одной стороны от третьей прямой линии, проходящей через ту же точку и пересекающей первые две прямые линии, равны в сумме двум прямым (чертеж №2).
Чертеж №2. Представление пятого постулата Евклида в трактовке единственной параллельной.
И вот эта пятая аксиома Евклидовой геометрии (хотя, как я понимаю, самый ранний из известных текстов с постулатами Евклида моложе его самого более чем на тысячу лет, и как могли измениться первоначальные формулировки, при переписывании за этот срок, одному Евклиду и было бы ведомо), называемая постулатом о параллельности, постоянно будоражила сознание математиков, заставляя их искать доказательства ее истинности. И каждый участник этой борьбы утверждал, что его доказательство лучше, а зачастую и то, что утверждения предыдущих вообще не имеют доказательной силы.
И вот в эту борьбу с Евклидовой параллельностью вступил и Николай Иванович Лобачевский. И хотя, как я понимаю, у него были и другие претензии к Евклидовому описанию геометрии, основное недовольство выражалось именно теории параллельности. Вот его слова (здесь и далее «курсивом в кавычках» выделяю формулировки Николая Ивановича Лобачевского из указанной выше книги):
«Кто не согласится, что никакая математическая наука не должна была бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию; и что нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий»
Обобщив весь, накопленный до него, опыт доказательств пятого постулата, Лобачевский пришел к выводу, что никто так ничего и не доказал (впрочем, так делали и все предыдущие доказыватели):
«Измерение плоскостей основывается на том, что две линии сходятся, когда они стоят на третьей по одну сторону и когда одна перпендикул, а другая наклонена под острым углом, обращенным к перпендикулу. Линии АВ и CD должны сходиться по достаточном продолжении, если одна из них АВ перпендикулярна к ВС, а другая CD наклонена к ВС под острым углом С, обращенным к перпендикулу АВ. Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами».
И конечно же сам Николай Иванович искренне считал, что данную проблему решил:
«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида в продолжение двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году»
При погружении в тему стало очевидно, что в геометрии Лобачевского, претензии не касаются общих взаимоотношений между привычными геометрическими объектами, различия ограничиваются именно нестандартным подходом к вопросу параллельности. И уже этот, принятый за истину, нестандарт используется для дальнейших доказательств специфических, отличных от Евклидовой геометрии, закономерностей. В связи с чем, в данной статье основное внимание обращено на утверждения Лобачевского (он их называет «Предложения»), имеющие отношение к вопросу параллельности. Причем полностью рассуждения Николая Ивановича будут приводиться только если это необходимо.
Универсальная геометрия.
Начинает свои исследования по теории параллельных линий Лобачевский с Предложений необходимых, как он считает, для дальнейших доказательств:
«1) Прямая линия покрывает себя самое во всех положениях. Под этим я разумею, что при вращении поверхности прямая линия не меняет своего места, если она проходит через две неподвижные точки поверхности.»
«2) Две прямые не могут пересекаться в двух точках.»
Вполне очевидно, что эти два предложения справедливы только в случае если прямая линия на всем протяжении не меняет своего направления. Что можно определить и так: угол между любыми смежными отрезками прямой линии равен π (или развернутому углу).
«3) Прямая линия, будучи достаточно продолжена в обе «стороны, должна уходить за всякие пределы и таким образом делит ограниченную плоскость на две части.»
В Предложении №4 Николай Иванович, в явном виде дает тот самый постулат Евклида, совершенно при этом не обсуждая его истинность, а значит считая его действительным.
«4) Две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, никогда не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали.»
«5) Прямая линия всегда пересекает другую прямую, если переходит с одной ее стороны на другую».
«6) Вертикальные углы, у которых стороны одного составляют продолжения сторон другого, равны. Это справедливо как в применении к плоским прямолинейным углам, так и в применении к плоскостным двугранным углам.»
Очевидно, что Предложение №6 справедливо только в случае если образующие углов являются прямыми линиями или плоскостями и не меняют своих направлений при переходе вершины углов.
«7) Две прямые не могут пересечься, если какая-либо третья прямая пересекает их под равными углами.»
Еще одно прямое упоминание пятого постулата, и снова никаких доказательств Николаю Ивановичу не требуется.
Предложения №№8-15 также ничего необычного не содержат.
«8) В прямолинейном треугольнике равным углам противолежат равные стороны, и обратно.»
«9) В прямолинейном треугольнике большей стороне противолежит также больший угол. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов, и прилежащие к ней углы острые.»
«10) Прямолинейные треугольники конгруэнтны, если у них равны сторона и два угла или две стороны и заключенный между ними угол или две стороны и угол, противолежащий большей стороне, или три стороны.»
«11) Прямая линия, перпендикулярная к двум другим прямым, не лежащим с нею в одной плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, проведенным через точку их общего пересечения в плоскости двух последних прямых.»
«12) Пересечение шара плоскостью есть круг.»
«13) Прямая, которая перпендикулярна к линии пересечения двух плоскостей и расположена в одной из этих плоскостей, перпендикулярна к другой плоскости.»
«14) В сферическом треугольнике равным сторонам противолежат равные углы, и обратно.»
«15) Сферические треугольники конгруэнтны, если у них равны две стороны и угол, заключенный между ними, или же сторона и прилежащие к ней углы.»
Новшество Лобачевского.
И наконец вот оно, то самое, начало новой теории параллельности Лобачевского данное в Предложении №16:
«16) Все прямые линии, выходящие в некоторой плоскости из одной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие ее и непересекающие. Граничная линия, одного и другого классов этих линий называется параллельной заданной линии. … Угол между параллелью и перпендикуляром называется углом параллели (углом параллельности); мы будем здесь обозначать его через П(p) при AD=p....
Если П(р) есть прямой угол, то кроме параллели, все другие прямые по достаточном продолжении в обе стороны должны пересекать заданную линию....
Если П(р) меньше прямого угла, то по другую сторону от перпендикуляра, под тем же углом П(р), будет проходить еще одна линия параллель, таким образом, мы должны отличать еще сторону параллельности.»
Видимо, чтобы не уподобляться тем, чьи попытки доказательств истинности пятого постулата критикует, Лобачевский просто сделал утверждение, что на плоскости через точку, находящуюся вне прямой линии, можно провести бесконечное число как пересекающихся (чертеж №3 зеленые линии), так и не пересекающихся (чертеж №3 синие линии) с ней прямых линий. И первые из непересекающихся с каждой стороны от перпендикуляра (чертеж №3 красные линии) он ОПРЕДЕЛЯЕТ как ПАРАЛЛЕЛИ.
Чертеж №3. Представление Лобачевского о параллельности.
Здесь очень важно отметить, что Лобачевский именно определяет какую прямую линию считать параллельной!!!
Определение нормальной параллельности.
Полностью поддерживаю такой подход – параллельность требует только определения, но совершенно не согласен в реализации.
Считаю, что единственно верное определение параллельности (далее буду называть ее нормальной), следующее: линии считаются параллельными, если расстояние между ними не изменяется. Причем, данное определение не ограничивается только прямыми линиями, оно применимо к любым линиям и поверхностям. И после определения доказывать уже необходимо не его истинность, а соответствие конкретных построений данному определению, что в корне меняет всю ситуацию. И если бы, такое определение было принято сразу, не было бы пустой борьбы с пятым постулатом и «несовершенством в теории параллельности», собственно, и такая теория в данном случае становиться излишней.
Однако, Николай Иванович (как и другие высокоранговые математики) посчитал, наверное, такой исход слишком простым для себя, не сулящим никакой сенсационности и эксклюзивности, и дал параллелям свое определение, на котором и построил, как он сам ее называл «воображаемую» геометрию.
Кстати, в Предложении №21 Николай Иванович сам доказывает, что его параллельности быть не может:
«21) Из данной точки всегда можно провести прямую линию таким образом, чтобы она образовала с данной прямой сколь угодно малый угол.»
В данном Предложении Лобачевский предполагает и доказывает, что при неограниченном продолжении между наклонными прямыми линиями всегда есть сколь угодно малый угол. Но угол требует наличия вершины – точки пересечения образующих его прямых линий, а значит наклонные друг к другу прямые линии неизбежно пересекаются.
Предложения №№17 и 18 вполне обычные утверждения пусть и применительно к необычной параллельности.
«17) Прямая линия сохраняет признак параллельности во всех своих точках.»
«18) Две линии всегда взаимно параллельны.»
Лобачевский и треугольники.
Для Предложения №19 необходимо привести оригинальное доказательство.
«19) В прямолинейном треугольнике сумма трех углов не может превышать двух прямых.»
«Допустим, что в треугольнике ABC (чертеж №4) сумма трех углов равна π+α; если его стороны не равны, возьмем наименьшую из них ВС, разделим ее пополам в D, проведем из А через D линию AD и на ее продолжении сделаем DE равным AD; затем соединим точку